电子系统课程报告

放大器

在本节中，我们的总体目标是设计一个音频放大器。技术规格如下：

输入信号 $v_e(t)$ 为音频信号，带宽在 $20\,\mathrm{Hz}$ 到 $20\,\mathrm{kHz}$ 之间；
电路输入电阻 $R_e = 100\,\mathrm{k\Omega}$；
负载为阻抗 $R_L = 4\,\Omega$ 的扬声器；
当输入信号为 $100\,\mathrm{mV}$ 时，输出功率应为 $20\,\mathrm{W}$；
电源为对称电源，电压为 $V = \pm 15\,\mathrm{V}$。

在本报告中，首先阐明将运算放大器与 B 类功率放大器结合的方案局限性，然后介绍运算放大器与 AB 类功率放大器结合的方案，后者基本满足要求。这对应原题第2和第3部分，将讨论若干方案变体。

方案2：运算放大器 + B 类功率放大器

我们构建了如上电路，其中运算放大器被替换为 AD820。

随后进行仿真，测量输入电压、运算放大器输出电压、整个电路输出电压、输入电流及两个晶体管的集电极电流，结果如下：

从推挽电路的集电极电流波形 $i{T1}$ 和 $i{T2}$ 可见输出电流过零点附近存在明显死区（两个晶体管均未导通）。输出电压 $vs$ 在过零点附近出现平坦“缺口”，表明该输出级为纯 B 类输出级，且未进行 $V{BE}$ 预偏置，阻碍正负半周之间连续转换，导致严重交越失真。

除了失真外，输出电压幅值与已知输入电压不符，表明系统未实现放大功能。

根据课程指导，我们尝试将信号分成两部分以验证结果：

两个放大器的输出信号如下：

可见运算放大器输出异常，验证第一个结论：运算放大器电路要求负载大于 $750\,\Omega$。此外，功率放大器未能实现放大功能。

方案3：运算放大器 + AB 类功率放大器

本节使用下图电路进行仿真，同样将运算放大器替换为 AD820。

仿真测量结果如下：

可以观察到信号已被正确放大。

还可见两个晶体管输出端信号匹配良好，输出信号几乎无失真。

以上即为 TD1 的仿真部分。

滤波器

低通滤波器

本节目标是使用 LTspice 对课程和课后练习中设计的低通滤波器性能进行数值验证。数据来自 TD 部分。

滤波类型	低通
截止频率	1 kHz
停止带起始频率	4 kHz
停止带最小衰减	45 dB
约束	通带内幅度尽可能平坦

根据计算结果，我们选用四阶 Butterworth 滤波器，由两个双二阶结构（Biquad）组成。
第一结构电阻值：$R_1 = 400\,\mathrm{k\Omega}$，$R_2 = 2\,\mathrm{M\Omega}$，$R_3 = 522.6\,\mathrm{k\Omega}$，$R_4 = 1.995\,\mathrm{M\Omega}$。
第二结构电阻值：$R_1 = 400\,\mathrm{k\Omega}$，$R_2 = 2\,\mathrm{M\Omega}$，$R_3 = 216.48\,\mathrm{k\Omega}$，$R_4 = 1.995\,\mathrm{M\Omega}$。

我们关注第二个 Biquad 单元的输出，仿真测量结果如下：

由图可见，该电路实现低通滤波：在 1 kHz 处出现 3 dB 衰减，在 4 kHz 处达到 45 dB 衰减；相位响应亦符合要求。

尽管题目要求单个 Biquad 测试，但单元仿真无法得到预期输出：

由此验证：单个 Biquad 无法实现设计功能，四阶组合结构满足规格要求。

带通滤波器

滤波类型	带通
中心频率	10 kHz
通带带宽	1 kHz
停止带带宽	3 kHz
停止带最小衰减	10 dB
约束	通带内幅度尽可能平坦

根据 TD 结果，选用二阶 Butterworth 结构，单个 Biquad，电阻值：$R_1 = 400\,\mathrm{k\Omega}$，$R_2 = 200\,\mathrm{k\Omega}$，$R_3 = 400\,\mathrm{k\Omega}$，$R_4 = 195\,\mathrm{k\Omega}$。仿真输出如下：

可见该电路实现带通滤波，但频率响应未完全满足规格：中心频率为 10 kHz，通带带宽小于 1 kHz；停止带在 3 kHz 处达到 ≥ 10 dB 衰减。结果与 TD 数据一致，验证了设计参数有效性。

单运算放大器带通滤波器

在 TD 中还设计了基于单运算放大器的带通滤波器，本节验证其有效性。规格同前节，参数设置如下：
$R1 = 2C{1o}$， $RC{2o} = 2000\,\mathrm{k\Omega}$， $C_1 = C_3 = C{1o} = 79.2\,\mathrm{pF}$， $C2 = C{2o} = 31.8\,\mathrm{nF}$， $R_2 = R_3 = R = 10\,\mathrm{k\Omega}$。

仿真输出如下：

由图可见，该电路实现带通滤波：中心频率为 10 kHz，通带带宽为 1 kHz；在 3 kHz 处达到 10 dB 衰减；相位响应亦符合规格。

TP: RC 移相振荡器实验

传递函数

本节集中研究 RC 移相振荡器。我们首先进行理论计算以推导振荡器中 RC 滤波器的传递函数。随后进行电路元件参数设计与计算，以启动振荡并验证三种不同工作模式。同时讨论课堂中提及的 Wien 振荡器的若干特性。

电路中共有4个节点：

输入节点，记为 $V_0$；
两个中间节点，记为 $V_1$ 和 $V_2$；
输出节点，记为 $V_3$。

定义反馈系数

$\beta = \frac{V_3}{V_0}.$

应用基尔霍夫电流定律，可得节点方程组（令 $x = j\omega R C$）：

$\begin{aligned} (1 + 2x)\,V_1 - x\,V_2 &= x\,V_0,\\ x\,V_1 - (1 + 2x)\,V_2 + x\,V_3 &= 0,\\ x\,V_2 - (1 + x)\,V_3 &= 0. \end{aligned}$

解上述方程组，得到

$V_3 = \frac{x^3}{x^3 + 6x^2 + 5x + 1}\,V_0, \quad \beta(j\omega) = \frac{x^3}{x^3 + 6x^2 + 5x + 1} = \frac{1}{1 - \frac{5}{(\omega R C)^2} - j\Bigl(\frac{6}{\omega R C} - \frac{1}{(\omega R C)^3}\Bigr)}.$

接着，使用类似方法推导 Wien 振荡器的滤波传递函数。

已知每段阻抗，可直接写出传递函数（令 $x = j\omega R C$）：

$H(s) = \frac{\frac{R}{1+x}}{R\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr) + \frac{R}{1+x}} = \frac{x}{x^2 + 3x + 1},$ $\beta(j\omega) = \frac{j\omega R C}{1 - (\omega R C)^2 + j\,3\omega R C}.$

数值研究

本节首先仿真 RC 移相振荡器滤波结构的频率响应，然后理论推导振荡频率和最小增益，并将仿真结果与理论结果对比，最后评估振荡器的稳定性。同时给出 Wien 振荡器的仿真结果。

注意：当相移为 $-\pi$ 时，幅度达到 $-29\,$dB（约为 $1/29$），对应频率约为 $6.5\,$kHz。

理论推导：令 $\beta(j\omega_0)\in\mathbb{R}$，得

$\frac{6}{\omega_0 R C} = \frac{1}{(\omega_0 R C)^3} \quad\Longrightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{6 R C}},\quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{6 R C}} = 6.5\text{ kHz}.$

振荡条件 $A\,\beta(j\omega_0)=1$，可得

$A = \frac{1}{|\beta(j\omega_0)|} = 29,$

与仿真结果一致。

取靠近 $f_0$ 的两点：

相位差

$\begin{aligned} \Delta\phi &= \phi_1 - \phi_2 \\ &= -180.96968^\circ - (-180.64546^\circ) \\ &= -0.32422^\circ \approx -0.0056597\text{ rad}. \end{aligned}$

频率差

$\begin{aligned} \Delta f &= f_1 - f_2 = 6606.7513 - 6570.0368 = 36.7145\text{ Hz},\\ \Delta\omega &= 2\pi\,\Delta f \approx 230.74\text{ rad/s}. \end{aligned}$

相位斜率

$\frac{d\phi}{d\omega} \approx \frac{-0.0056597}{230.74} \approx -2.45\times10^{-5}\text{ s}.$

稳定性指标

$S(\omega_0) = \bigl|\omega_0\,\frac{d\phi}{d\omega}\bigr| \approx 4.1398\times10^4 \times 2.45\times10^{-5} \approx 1.015.$

注意：当相移为 $0$ 时，幅度达到 $-9.5\,$dB（约为 $1/3$），对应频率约为 $1.64\,$kHz。

理论推导：令 $\beta(j\omega_0)\in\mathbb{R}$，得

$1 - \omega_0 R C = 0 \quad\Longrightarrow\quad \omega_0 = \frac{1}{R C}.$

振荡条件

$A_0 = \frac{1}{\beta(j\omega_0)} = 3,$

由此得电阻比

$R_2 = 2\,R_1.$

启动条件研究

在本节中，研究三种启动状态，针对 RC 移相振荡器。

测量稳定状态下振荡频率：

可见振荡频率与理论计算一致。

增益非线性

本节简要观察二极管引入的增益非线性。仿真电路及结果如下，可从波形图中分析非线性来源：

TP：CD4046B 锁相环研究

本节中，我们将利用并验证 CD4046B 锁相环的多项特性。首先确定工作频率范围；然后探讨压控振荡器与输出频率之间的关系；接着测量捕获范围和锁定范围；最后研究阶跃响应并分析动态性能。

工作频率范围

在 $C1 = 1\,\mathrm{nF}$、$R_1 = 10\,\mathrm{k\Omega}$、$R_2 = \infty$ 的条件下，确认 VCO 的工作频率范围。题中假设 $V{DD} = 10\,\mathrm{V}$、$V{SS} = 0\,\mathrm{V}$，且 VCO 输入电压范围为 $[V{SS},\,V{DD}]$。参照典型中心频率与电容关系图（环境温度 $25^\circ\mathrm{C}$，$VCO_IN = \tfrac12 V{DD}$，$INH = V_{SS}$，$R_2 = \infty$），可得

$f_0 = 8\times10^4\ \mathrm{Hz}.$

由于 $R_2 = \infty$，处于无频偏模式，故

$f_{\max} = 2\,f_0 = 1.6\times10^5\ \mathrm{Hz},\quad f_{\min} = 0\ \mathrm{Hz}.$

VCO 特性

在 LTspice VCO 模型（CD4046B VCO.asc）中，设置 $f{\min}=1\times10^2$、$f{\max}=1.6\times10^5$，并添加题中指定的电阻与电容元件。通过将输入电压 $V1$ 从 $0\,\mathrm{V}$ 以 $1\,\mathrm{V}$ 步长扫描至 $10\,\mathrm{V}$，并使用 FFT 测量输出频率 $f{\mathrm{VCO}}$，导出仿真结果并绘制电压–频率关系图。结果如下：

可见，当输入电压 $V_1$ 在 $1\,\mathrm{V}$ 至 $9\,\mathrm{V}$ 范围内时，输出频率与输入电压呈线性关系；超出该范围后出现饱和现象。线性关系可表示为

$f_{\mathrm{VCO}} = 19.56\,\mathrm{kHz}\times V_{1} - 17.59.$

捕获范围和锁定范围

使用 CD4046B sweep croissant.asc 和 CD4046B sweep décroissant.asc 进行仿真。原计划测试 $C_2 = 10\,\mathrm{nF}$、$C_2 = 100\,\mathrm{nF}$ 及两种比较器，共四组；但在 $C_2 = 10\,\mathrm{nF}$ 且使用 PC2 时仿真失败，最终仅得六组数据；后续使用信号发生器和 PC1 补充两组，总计八组数据。导出 .txt 后使用 Python 重绘，结果见附录。此处给出 $C_2 = 100\,\mathrm{nF}$ 时的捕获与锁定范围仿真：

$C_2 = 10\,\mathrm{nF}$ 时的捕获与锁定范围仿真：

由此，对于 $C_2 = 10\,\mathrm{nF}$，捕获范围约为 $[77\,\mathrm{kHz},\,105\,\mathrm{kHz}]$，锁定范围约为 $[19.7\,\mathrm{kHz},\,160\,\mathrm{kHz}]$；对于 $C_2 = 100\,\mathrm{nF}$，捕获范围约为 $[65\,\mathrm{kHz},\,95\,\mathrm{kHz}]$，锁定范围约为 $[0\,\mathrm{kHz},\,160\,\mathrm{kHz}]$。由于上升与下降过程数据异常且仿真频繁阻塞，难以解释其特性。使用 PC2 得到的唯一结果如下：