Génération de signaux 信号发生器

简介

信号发生器（Générateur de signal）是一种能够自主产生特定电压波形（如正弦波、方波、锯齿波等）的电路，其核心工作原理基于振荡器（Oscillateur）。

一个完整的振荡系统（Système oscillant由两个关键组件构成：

主动元件（Élément actif）：提供能量的源头，如晶体管或运算放大器，用于放大或补偿能量损耗。
被动反应元件（Élément passif réactif）：通常由电感（L）、电容（C）或电阻（R）组成，用于储存和释放能量，控制频率特性。

这两者之间形成能量的转移和反应，从而维持持续的振荡。

两类常见的振荡器：

线性振荡器（Oscillateurs linéaires/sinusoïdaux）：如RC、LC或石英振荡器，产生的是连续波形（例如正弦波）。
弛张振荡器（Oscillateurs à relaxation）：例如施密特触发器或多谐振荡器，输出的是非连续的波形（例如方波、锯齿波），原理是能量储存与突释放的循环

正弦振荡器 Oscillateurs sinusoïdaux

振荡器由一个放大器和一个反馈网络组成。如果希望系统无外部输入即可持续震荡，必须满足：

反馈为正（contre-réaction positive）
放大器增益$A$与反馈网络传递函数$\beta(j\omega)$满足一定关系。

假设A在频率上恒定，则系统的传递函数：

$H(j \omega)=\frac{x_3}{x_1}=\frac{A}{1-A \beta(j \omega)}$

振荡器的三种工作状态

根据$A$和$\beta(j\omega)$的关系，可将振荡器的工作状态分为三类:

增益反馈过强： $A \beta(j \omega) > 1$，系统不稳定，输出信号会无限增大，直到饱和。但其非线性特性也可以用在方形信号发生器中。
增益反馈不足： $A \beta(j \omega) < 1$，系统稳定，输出信号会衰减到0。
增益反馈适中： $A \beta(j \omega) = 1$，系统处于临界状态，输出信号保持恒定幅度。可以用来构建正弦振荡器（线性振荡器）

巴克豪森条件和震荡频率

为了使得电路持续自激振荡，需要满足以下条件：

$1-A \beta(j \omega)=0 \Longleftrightarrow A \beta(j \omega)=1$

换言之：

$|A \beta(j \omega)|=1 \quad \text { 且 } \quad \varphi(A \beta(j \omega))=2 n \pi, \quad n \in \mathbb{N}$

振荡频率$f_0$是使得贿赂相位为$n\pi$的频率点。即：

$\beta\left(j \omega_0\right) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \varphi\left(\beta\left(j \omega_0\right)\right)=n \pi, n \in \mathbb{N}$

也就是说，震荡频率由反馈网络确定。此时，增益应该满足：

$A=\frac{1}{\left|\beta\left(j \omega_0\right)\right|}$

因此，反馈电路应该满足幅度和相位为频率的函数，并且通过相位应该为0或$\pm\pi$。

频率稳定性

振荡器通常是实现成本和振荡频率稳定性的折中考虑。

频率稳定性一般定义为：

$S\left(\omega_0\right)=\left|\frac{d \varphi(\beta(j \omega))}{d\left(\omega / \omega_0\right)}\right|_{\omega=\omega_0}$

即相位在振荡频率周围的变化越大，振荡器越稳定。

对于一个使用二阶带通滤波器实现的振荡器的反馈电路，其传递函数为：

$H_{B P 2}(s)=K \frac{s \frac{\omega_0}{Q}}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2}$

此时，频率稳定性为：$S(\omega_0) = 2Q$。

CR移相振荡器

CR移相振荡器由以下两个部分组成：

一个反相放大器（Amplificateur inverseur）
一个由三个CR单元组成的反馈电路（三级高通结构）

其反馈电路传递函数为：

$\beta(j \omega)=\frac{1}{1-\frac{5}{(\omega R C)^2}-j\left(\frac{6}{\omega R C}-\frac{1}{(\omega R C)^3}\right)}$

这里进行简要证明：

节点定义
电路中共有四个节点 (node)：

输入节点：设输入电压为 $V_0$；

两个中间节点：分别为 $V_1$ 和 $V_2$；

输出节点：输出电压为 $V_3$。
因此有 $\beta = V_3 / V_0$。

基尔霍夫定律 (Kirchhoff’s laws) 建立方程
令 $x = j\omega RC$，根据基尔霍夫电流定律 (KCL)，可得：
$\begin{cases} (1 + 2x)\,V_1 - x\,V_2 = x\,V_0, \\[6pt] x\,V_1 - (1 + 2x)\,V_2 + x\,V_3 = 0, \\[6pt] x\,V_2 - (1 + x)\,V_3 = 0. \end{cases}$
以下以节点 $V_1$ 的方程推导为例，其余节点同理。

节点 $V_1$ 的电流分析
节点 $V_1$ 有三条支路：

左侧电容分支：电流记为 $I_1$；

右侧电容分支：电流记为 $I_2$；

下方电阻分支：电流记为 $I_3$。

根据电容电流公式及拉普拉斯变换：
$I_1 = C\frac{d(V_1 - V_0)}{dt} \quad\xrightarrow{\mathcal{L}}\quad I_1 = j\omega C\,(V_1 - V_0),$
同理：
$I_2 = j\omega C\,(V_1 - V_2), \quad I_3 = \frac{V_1}{R}.$
由基尔霍夫电流定律：
$I_1 + I_2 + I_3 = 0,$
即
$\frac{V_1}{R} + j\omega C\,(V_1 - V_0) + j\omega C\,(V_1 - V_2) = 0.$
令 $x = j\omega RC$，即可化简为第一条方程。

对其他节点重复相同过程，可得第二、三条方程。

矩阵形式与求解
将上述线性方程组写成矩阵形式：
$\begin{pmatrix} 1+2x & -x & 0 \\ x & -(1+2x) & x \\ 0 & x & -(1+x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\,V_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$
解得：
$V_3 = \frac{x^3}{x^3 + 6x^2 + 5x + 1}\,V_0, \quad \beta = \frac{V_3}{V_0} = \frac{x^3}{x^3 + 6x^2 + 5x + 1}.$
替换 $x = j\omega RC$**
最后令 $x = j\omega RC$，得到：
$\beta(j\omega) = \frac{1} {1 - \frac{5}{(\omega RC)^2} - j\Bigl(\frac{6}{\omega RC} - \frac{1}{(\omega RC)^3}\Bigr)}.$