filtre 滤波器

概述

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滤波器用以选择性地通过或阻止信号的频率成分，以及删除信号中的噪声。

按照频率响应特性，滤波器可分为低通(Filtre passe-bas)、高通(Filtre passe-haut)、带通(Filtre passe-bande)和带阻(Filtre coupe-bande)滤波器。

按照不同的技术，可分为电子滤波器和机械与物理滤波器。

图为表面声波滤波器（SAW Filter）。当一个射频信号加在左侧交指电极上时，会激励出沿压电材料表面传播的表面声波。表面声波在材料表面传播的波长满足公式$\lambda = c/f$。由于电极之间的间距固定（决定了某一波长），只有特定频率的声波能有效激发与接收，因此实现了对信号频率的窄带选择性滤波。不符合频率条件的信号将不会有效传播或被转换，从而被抑制。

理想滤波器是指不引起信号失真的滤波器，其作用仅是放大或延迟信号，而不改变信号的频谱结构。

理想滤波器在现实中不存在！

滤波器的传递函数

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在频域上，滤波器的传递函数$H(f)$是输入信号$X(f)$和输出信号$Y(f)$的比值：$Y(p) = H(p)X(p)$。

对于一个线性滤波器，其传递函数可以写作：

$$H(p)=\frac{\sum_{i=0}^k b_i p^i}{\sum_{j=0}^m a_j p^j}$$

与之前课程中提到的传递函数相同，一个线性系统仅当其所有极点的实部为负时才稳定。

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渐进行为
考虑上述传递函数在低频和高频时的渐进。

在低频时，$H(0)\to\frac{b_0}{a_0}$

在高频时：

• $H(j \omega) \rightarrow \frac{b_k}{a_m}(j \omega)^{k-m}$
• 模长 $|H(j \omega)| \rightarrow\left|\frac{b_k}{a_m}\right| \omega^{k-m}$
• 相位 $\varphi(H(j \omega)) \rightarrow n \frac{\pi}{2}$

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正则传递函数

一阶滤波器

• 低通滤波器： $H{L P}(j \omega)=K \frac{1}{1+j \frac{\omega}{\omega_0}} \ or \ H{L P}(s)=K \frac{\omega_0}{\omega_0+s}$

• 高通滤波器： $H{H P}(j \omega)=K \frac{j \frac{\omega}{\omega_0}}{1+j \frac{\omega}{\omega_0}} \ or \ H{H P}(s)=K \frac{s}{\omega_0+s}$

二阶滤波器

$$\begin{array}{ll} H_{L P 2}(j \omega)=K \frac{1}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{L P 2}(s)=K \frac{\omega_0^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \\ H_{H P 2}(j \omega)=K \frac{-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{H P 2}(s)=K \frac{s^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \\ H_{B P 2}(j \omega)=K \frac{2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{B P 2}(s)=K \frac{s \frac{\omega_0}{Q}}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \\ H_{B S 2}(j \omega)=K \frac{1-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2}{1+2 \xi j \frac{\omega}{\omega_0}-\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2} & H_{B S 2}(s)=K \frac{s^2+\omega_0^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} \end{array}$$

其中，复频率$s=jω$，品质因数$Q=\frac{1}{2\xi}$。

滤波器设计

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gabarit 滤波器模板

滤波器的“gabarit”（模板曲线）是用于定义其性能指标的图形工具，通常在频率响应图中标出不同区域的允许误差范围和性能要求。

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关键参数

• $f_c$：-3dB截止频率（频率响应下降3dB处）。
• $f_s$：阻带起始频率（定义阻带的开始）。
• 带通区（Bande passante）：滤波器主要工作频率范围，信号能无明显衰减通过。
• 带阻区（Bande d’arrêt）：需要抑制的频率范围，信号被大幅衰减。
• 过渡带（Bande de transition）：从通带过渡到阻带的区域，滤波器特性快速变化。
• 阻带衰减（Atténuation dans la bande d’arrêt）：表示滤波器在阻带中抑制信号的能力。

• 通带波动（Oscillation dans la bande passante）：通带内的增益可能不是完全平坦，会存在微小起伏。

• a、b 水平线：定义了通带最大增益与阻带最大允许增益，称为“模板边界”。

  • a：通带最大增益。
  • b：阻带最大允许增益。

模板边界用于明确滤波器性能要求，通常在频率响应图中标出。

设计方法

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1. 编写技术指标（Cahier des charges）

2. 归一化与转换：将实际问题转换为标准归一化低通滤波器（Passe-bas normalisé, PBN）问题。

3. 选择响应类型
   根据需求选择滤波器响应特性：

   • Butterworth（平滑响应，无波纹）

   • Chebyshev（具有通带或阻带波纹，过渡带更陡）

   • Bessel（群延迟最小，保形性好）

4. 选择电路结构

   • 被动结构（passif）：仅使用电感、电容、电阻

   • 有源结构（actif）：含运算放大器等有源元件

5. 多项式确定：使用标准表格（1阶和2阶）确定归一化低通滤波器的传递函数

   $$H_{L P N}(S)=\prod_i \frac{\left|s_i\right|^2}{\left(S-s_i\right)\left(S-\overline{s_i}\right)}$$

6. 反归一化，计算实际的传递函数形式

7. 确定电路结构：选择合适的电路拓扑结构（如Sallen-Key、Biquad等）。

8. 确定电路元件参数：电感、电容和电阻的值

滤波器的归一化

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将各种不同类型的滤波器统一转化为标准低通滤波器（PBN）进行分析，从而简化设计与计算。

PBN的传递函数应该为：

$$H_{P B N}(S)=\prod_i \frac{\left|s_i\right|^2}{\left(S-s_i\right)\left(S-\overline{s_i}\right)}$$

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低通滤波器

归一化操作将滤波器的截止频率$f_0$映射为1，其余频率按比例缩放。具体公式为：

$$S = \frac{s}{\omega_0}, \quad X_1 = \frac{f_1}{f_0}$$

映射后，截止频率为1，带阻起始频率为$X_1$。

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高通滤波器

与低通滤波器类似。具体公式为：

$$S = \frac{\omega_0}{s}, \quad X_1 = \frac{f_0}{f_1}$$

通过将$p替换为\frac{\omega_0}{p}$，可以实现高通滤波器和低通滤波器互换。

$$H(p)=\frac{\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2}{1+\left(\frac{p}{Q \omega_0}\right)+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2} \quad \stackrel{p \Rightarrow \frac{\omega_0}{p}}{\longrightarrow} \quad H(p)=\frac{1}{1+\frac{p}{Q}+p^2}$$

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带通滤波器

需要同时考虑两个截止频率$f_1$和$f_2$，其中心频率为：

$$f_0 = \sqrt{f_1 f_2} = \sqrt{f_1'f_2'}$$

带宽标准化变换公式为：

$$\omega \to \frac{\omega_0}{2\pi B} \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)$$

其中，带宽$B$为：

$$B = f_2 - f_1$$

归一化后截止频率为：

$$X_1 = \frac{f_2' - f_1'}{f_2 - f_1}$$

归一化低通滤波器的阶数为$n$，对应的带通滤波器的阶数为$2n$。

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带阻滤波器

带阻滤波器的归一化与带通滤波器类似。公式为：

$$\begin{gathered} f_0=\sqrt{f_1 f_2} \\ \omega \rightarrow \frac{2 \pi B^{\prime}}{\omega_0} \cdot\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)^{-1} \\ X_1=\frac{f_2-f_1}{f_2^{\prime}-f_1^{\prime}} \end{gathered}$$

响应类型的选择

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巴特沃斯滤波器（Filtre de Butterworth）

$$H(p)=\frac{K}{1+(-1)^n p^{2 n}}$$

• 在零频处增益最大；

• 通带中保持最大平坦度（critère de méplat），无波动；

• 衰减随频率单调增加。

切比雪夫滤波器（Filtre de Chebyshev）

$$|H(\omega)|^2=\frac{1}{1+\varepsilon^2 T_n^2(\omega)} \begin{cases}T_n(x)=\cos (\arccos x) & \mathrm{x} \leq 1 \\ T_n(x)=\operatorname{ch}(\arg \operatorname{ch} x) & \mathrm{x}>1\end{cases}$$

• 通带中允许等波纹（ripples）

• 相比Butterworth，过渡带更陡峭，选择性更强；

• 衰减速度快于Butterworth，但不平坦。

贝塞尔滤波器（Filtre de Bessel）

$$H(p) \approx e^{-p} \quad \longrightarrow \quad H(p)=\frac{1}{B_n(p)}$$

• 最为线性的相位响应，适用于对相位敏感的应用。

类别	巴特沃斯滤波器（Butterworth）	切比雪夫滤波器（Chebyshev）	贝塞尔滤波器（Bessel）
优点	- 通带内响应曲线非常平坦 - 良好的传播时间特性 - 计算简便	- 对于同阶滤波器，具有最陡峭的截止特性	- 在给定阶数下，通带内相位最线性
缺点	- 截止陡峭程度中等 - 归一化通带内衰减固定为 -3dB	- 通带内存在波动 - 通带传播时间依赖于频率	- 截止陡峭性差
阶数计算	$n \ge \dfrac{\ln \left(10^{b/10} - 1 \right)}{2 \ln(X_1)}$	$n \ge \dfrac{\cosh^{-1} \left( \sqrt{\dfrac{10^{b/10} - 1}{10^{a/10} - 1}} \right)}{\cosh^{-1}(X_1)}$	—
应用	- 测量设备（如电压表）	- 抑制靠近有用信号频率的干扰信号	- 信号传输系统

有源/无源滤波器

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	无源滤波器（Filtres passifs）	有源滤波器（Filtres actifs）
组件	使用 R、L、C：体积大、昂贵、调节困难	R、C 即可：体积小、成本低、易于集成与调节
增益	无放大功能，Q 值较低	可放大，Q 值更高
负载依赖性	滤波器特性依赖于负载	滤波器特性与负载无关
电源	不需要电源	必须要有电源
噪声性能	被动元件噪声小	有源器件可能带来噪声干扰
对元件的敏感性	对元件变化不太敏感（低或中）	对元件变化更敏感

有源滤波器结构

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Structure Biquad

$$\begin{array}{llc} H_{L P}(s)=K \frac{\omega_0^2}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} & \omega_0=\frac{1}{C \sqrt{R_2\left(R_4+5 \mathrm{k} \Omega\right)}} & K=-\frac{R_2}{R_1}\left(\frac{R_X}{R_Y}\right) \\ H_{B P}(s)=K^{\prime} \frac{s \frac{\omega_0}{Q}}{s^2+s \frac{\omega_0}{Q}+\omega_0^2} & Q=\frac{R_3}{\sqrt{R_2\left(R_4+5 \mathrm{k} \Omega\right)}}\left(\frac{R_Y}{R_X}\right) & K^{\prime}=-\frac{R_3}{R_1} \end{array}$$

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Structure Sallen-Key

Passe-bas:

$$C_{n, i}=\frac{K_{n, i}}{R \omega_0}$$

Passe-haut :

$$R_{n, i}=\frac{1}{K_{n, i} C \omega_0}$$

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Structure de Rauch

$$H(p)=-\frac{R^2 C p}{C^2 R_1 R_2 p^2+C R_1 p+1+\frac{R_1}{R_3}} \quad \longrightarrow\left\{\begin{array}{l} \omega_0=\frac{\sqrt{1+\frac{R_1}{R_3}}}{C \sqrt{R_1 R_2}} \\ Q=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{R_2}{R_1}\left(1+\frac{R_1}{R_3}\right)} \end{array}\right.$$