RM5 Erlang 容量

流量、容量和 QoS

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• 覆盖的维度设计：
  • 确保在小区边缘的用户能够以较高概率解码信号，同时考虑干扰的影响。
  • 例如，2G 网络中，使用 200 kHz 带宽的用户发射功率为 1W 时，$N=7$ 的簇覆盖半径为 1.8 公里，$N=9$ 的簇覆盖半径为 2 公里。
• 服务质量 (QoS)：
  • 用户感知的质量与服务类型相关，因此有服务质量 (QoS) 的定义：
    • 语音呼叫的阻塞率。
    • 数据服务（如邮件、网页）的传输时间。
• 流量分析的必要性：
  • 需要明确每种服务的流量特性及其资源需求。

→无记忆性，泊松过程和马尔可夫链

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无记忆性

若随机变量 $X$ 表示某事件的持续时间，当以下条件成立时，称 $X$ 具有无记忆性：$P(X > x + t | X > t) = P(X > x)$

对于任意具有无记忆性的随机变量 $X$，如果我们定义 $F(t) = P(X > t)$，则存在一个常数 $\lambda > 0$，使得 $F(t) = e^{-\lambda t}$。

换言之，$X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。

指数分布的性质：

• 概率密度函数：$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$。
• 均值与标准差：均值 $1/\lambda$，标准差 $1/\lambda$。

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泊松过程

泊松过程是一种定义在 $\mathbb{R}^+$ 上的点过程，表示一系列事件的到达时间 $T1, T_2, T_3, \dots$，其中：$\tau_n = T_n - T{n-1}$ 是相邻到达时间的间隔（interrival times）。
泊松强度为 $\lambda > 0$ 的泊松过程是一个点过程，其到达间隔 $\tau_n$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。

对于泊松分布：

• 在不相交的时间区间内，事件的到达数量相互独立。

• 任意区间 $(s, t]$ 内的到达事件数 $N(s, t)$ 是一个服从参数为 $\lambda (t - s)$ 的泊松随机变量，满足：

  $$P(N(s, t) = n) = \frac{[\lambda (t-s)]^n e^{-\lambda (t-s)}}{n!}$$

泊松过程的当前状态不影响未来状态。

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马尔可夫链

一系列随机变量 $X_0, X_1, \dots$，取值于状态空间 $E$，若满足无记忆性，则称其为马尔可夫链。

如果马尔可夫链的转移概率与时间无关，则称为齐次马尔可夫链：

$$P(X_{n+1} = y \mid X_n = x) = P(X_1 = y \mid X_0 = x) = q(x, y), \quad \forall n \geq 0$$

转移概率 $q(x, y)$ 完全描述了链的动态行为，且满足：

$$\forall x \in E, \quad \sum_{y \in E} q(x, y) = 1$$

平稳分布 $p(x)$ 满足平衡方程：

$$\sum_{y \in E} p(y) q(y, x) = \sum_{y \in E} p(x) q(x, y)$$

即一个状态的输出频率等于输入频率。

呼叫过程

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假设

系统中的呼叫到达是一个具有强度 $\lambda$ （单位：呼叫/秒）的泊松过程。每次通话的持续时间服从参数为 $\mu = \frac{1}{T}$ 的指数分布。

对于 $n$ 个活跃用户，存在 $n$ 个独立的随机变量，表示每个通话的剩余时间。这些变量服从参数为 $\mu$ 的指数分布。

系统最多可支持 $K$ 个并发呼叫，每个呼叫的服务时间平均为 $T$ 。

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状态转移

1. 从状态 $n \to n-1$ ：任意一个计时器到期时发生，转移率为 $n\mu$ 。
2. 从状态 $n \to n+1$ ：新的呼叫到达时发生，转移率为 $\lambda$ 。

系统可建模为连续时间马尔可夫链，状态转移率 $q_{ji}$ 完全描述了链的行为。

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系统平衡方程与状态概率计算

平衡方程：

$$p_i \sum_{j \neq i} q_{ij} = \sum_{j \neq i} p_j q_{ji}$$

初始条件：

$$p_0 \lambda = \frac{p_1}{T} \implies p_1 = p_0 \lambda T$$

递归计算：

$$p_n = \frac{p_{n-1} \lambda T}{n} = p_0 \frac{(\lambda T)^n}{n!}$$

归一化条件与状态概率：

$$\sum_{n=0}^K p_n = 1 \implies p_n = \frac{\frac{(\lambda T)^n}{n!}}{\sum_{m=0}^K \frac{(\lambda T)^m}{m!}}$$

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阻塞概率（Erlang-B公式）

• 流量强度与阻塞：
  • 流量强度 $E = \lambda T$ （单位：Erlang）。
  • 如果新的呼叫到来时所有电路均被占用，则该呼叫被阻塞。
• 阻塞概率：

$$B = \frac{\frac{(\lambda T)^K}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{(\lambda T)^m}{m!}} =\frac{\frac{E}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{E}{m!}}$$

• 即$B = p_k$。

Erlang容量

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无论是模型针对流量还是服务，爱尔兰容量由以下三个要素描述：

• 流量 Trafic：例如，一个爱尔兰单位的流量（$E$）。
• 服务质量 QoS：例如，目标阻塞率 （$B$）。
• 资源 Ressources：即物理容量，例如通路的数量 （$K$）。

模型建立了流量、QoS 和资源三者之间的联系。知道其中两个顶点即可计算第三个。

$$B = \frac{\frac{(\lambda T)^K}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{(\lambda T)^m}{m!}} =\frac{\frac{E}{K!}}{\sum_{m=0}^K \frac{E}{m!}}$$

2G无线接入与频谱复用的GSM容量计算

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频率与时隙划分

• 频分多址（FDMA）：
  • 总带宽被划分为多个子带，每个子带宽度为 200 kHz。
• 时分多址（TDMA）：
  • 一个帧持续 4.62 ms，划分为 8个时隙，每个时隙 0.5775 ms。
  • 调制方式为 GMSK（1比特/符号）。
  • 每个时隙传输 156比特，总速率为 270 Kbps。
  • 其中有用比特为 114比特，对应 200 Kbps 的有效速率。
  • 每个子带最多支持 7个用户（1个时隙用于信令，确保链路建立）。

频谱复用

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• 通过频谱复用模式（如1/3或1/7）来降低同频干扰。但需减少每个小区可用的频谱资源。
  • 1/3复用：每个小区可用频谱为总频谱的1/3。
  • 1/7复用：每个小区可用频谱为总频谱的1/7。

GSM小区容量示例

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• 问题描述：
  • 某GSM运营商有10 MHz频谱，使用1/9频谱复用模式。
  • 要求最大允许阻塞率为1%时，计算该小区的爱尔兰容量。

• 计算步骤：

  1. 频段数量：总频谱带宽为10 MHz，每个频段宽度为200 kHz。

     $$\text{频段数} = \frac{10\ \text{MHz}}{200\ \text{kHz}} = 50$$

  2. 总时隙数：每个频段有7个时隙。

     $$\text{总时隙数} = 50 \times 7 = 350$$

  3. 小区内时隙数：复用因子为9，每个小区可用的时隙为：

     $$K = \frac{350}{9} \approx 38$$

  4. 阻塞率为1%时的爱尔兰容量：
     查表（Erlang-B表格）得出：

     $$E = 28\ \text{Erlang}$$

2G中基于EDGE的高效数据流量技术

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EDGE技术的特性

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EDGE (Enhanced Data Rates for GSM Evolution) 提供了增强的数据传输速率。

• 某些时隙专用于数据传输。
• 一个用户可以独占所有时隙，也可以共享时隙。

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不同版本的EDGE使用不同的调制与编码方案：

• 8-PSK：早期版本，3比特/符号，对应速率为 60 Kbit/s/slot。
• 32-QAM：改进版（Evolved EDGE），5比特/符号，对应速率为 100 Kbit/s/slot。

调制与编码的选择：取决于小区的大小和干扰水平，即 信噪干扰比 (SINR)。

数据流量与质量模型：处理器共享模型

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• 数据流量的特性：
  • 与语音业务不同，数据流量的呼叫具有弹性 élastiques ，取决于分配的带宽。
  • 性能主要取决于文件传输的平均时长，或者等效的平均数据速率。
• 影响用户数据速率的因素：
  1. 无线链路质量：用SINR表示。
  2. 小区的负载情况。

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处理器共享模型

• 系统具有总容量 $C$ （单位：比特/秒）。
• 使用轮询调度 (round robin scheduling) 的方式服务 $n$ 个用户。
• 流量（呼叫）到达服从泊松过程，强度为 $\lambda$ （单位：呼叫/秒）。
• 每个呼叫的文件大小服从平均为 $F$ 比特的指数分布。

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马尔可夫链

• 状态 $n$ 表示系统中有 $n$ 个活跃流量。
• 每个流量在状态 $n$ 时的分配速率为 $\mu = \frac{C}{F}$ 。

状态转移：

• 从 $n \to n+1$ ：流量到达，速率为 $\lambda$ 。
• 从 $n \to n-1$ ：流量完成，速率为 $n\mu$ 。

整体服务速率：始终保持 $\mu = \frac{C}{F}$ 。

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平衡方程与状态概率

平衡方程：

$$p_i \sum_{j \neq i} q_{ij} = p_j\sum_{j \neq i} q_{ji}$$

递归求解：

1. 初始状态 $p_0$ ：

   $$p_0 \lambda = p_1 \mu \implies p_1 = p_0 \frac{\lambda}{\mu}$$

2. 一般递归公式：

   $$p_n = p_0 \left( \frac{\lambda}{\mu} \right)^n = p_0 \left( \frac{\lambda F}{C} \right)^n$$

3. 归一化条件：

   $$\sum_{n=0}^\infty p_n = 1 \implies p_0 = 1 - \rho$$

4. 其中，系统负载率 $\rho = \frac{\lambda F}{C}$ 。

最终公式：

$$p_n = \rho^n (1-\rho)$$

• 当系统空闲时，所有流量均可处理。
• 当 $ρ=1$ 时，系统达到最大负载，对应的最大到达率：

$$\lambda_{\max }=\frac{C}{F}$$

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平均数据速率

用户的服务质量与其观察到的平均数据速率 $d$ 相关。

• 在状态 $n$ ，每个用户的分配速率为 $\frac{C}{n}$ 。

• 系统平均数据速率 $d$ ：

  $$d = C(1-\rho) = C - \lambda F$$

• 解释：

  • 系统部分被占用时，剩余的可用容量为 $C - \lambda F$ 。

EDGE小区的容量计算和用户平均速率计算

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假设：

• GSM运营商拥有10 MHz频谱，使用频率复用因子 $N = 9$ 。
• 每时隙平均速率为 $70 \ \text{Kbps}$ 。
• 分配给EDGE的资源占40%。

最大数据容量计算：

• EDGE传输器数量：

  $$\text{EDGE传输器数} = 0.4 \times \frac{50}{9} = 2.22$$
  • 其中 $50 = \frac{10 \ \text{MHz}}{200 \ \text{kHz}}$ 为总频段数。

  • EDGE的总时隙数量：

    $$\text{总时隙数} = 15$$

  • 小区容量：

    $$C = 15 \times 70 = 1050 \ \text{Kbps}$$

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假设：

• 文件传输需求：每分钟5次。
• 文件平均大小： $1 \ \text{MB} = 8 \ \text{Mb}$ 。

用户速率计算：

• 提总流量：

$$\text{总流量} = 5 \times \frac{8}{60} = 0.667 \ \text{Mbps}$$

• 系统负载率：

$$\rho = \frac{0.667}{1.05} = 0.635$$

• 用户平均速率：

$$d = C(1-\rho) = 1050 \times (1 - 0.635) = 384 \ \text{Kbps}$$