RM2 CDMA编码和干扰

CDMA 编码

为了构建上述正交编码，一种简单的方法是使用Wash-Hadamard 编码。这种方法递归构建一个矩阵，编码即为矩阵的每一行：

$\begin{gathered} H_1=[1] \ , \ H_{2^n}=\left[\begin{array}{cc} H_{2^{n-1}} & H_{2^{n-1}} \\ H_{2^{n-1}} & -H_{2^{n-1}} \end{array}\right] \end{gathered}$

如对于$L = 4$时，矩阵可以如下构建：

$\begin{aligned} &\begin{aligned} & H_1=[1] \\ & H_2=\left[\begin{array}{cc} H_1 & H_1 \\ H_1 & -H_1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}\\ &H_4=\left[\begin{array}{cc} H_2 & H_2 \\ H_2 & -H_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc:cc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ \hdashline 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}$

$H_4$中的四行即为四个正交编码。

接下来，我们来讨论$L$的取值对带宽的影响。回忆方波的傅里叶变换：

带宽与方波的周期的倒数$1/T_u$成正比。我们使用的编码信号的周期通常为原始信号的$1/L$，即编码信号的带宽通常大于原始信号。它们在时域上相乘意味着在频域上的卷积，即：

因此，在编码之后，带宽会增大，信号被扩频。这也是这种方法被称为直接信号扩频spread spectrum by direct sequence的原因。

由于信号的总带宽有限，我们不能无限制的增大编码数量。或者从另一个角度来看，设由于带宽限制导致的最小周期为$T_c$，原始信号周期即为：

$T_s = LT_c$

信号速率$R_x=\frac{1}{T_s}=\frac{1}{L T_c}$随着$L$的则更加而降低。因此，虽然可以通过扩大$L$来扩展系统容量，但会牺牲单个信号的效率。

OVSF 正交可变扩展因子码树

在先前的处理中，我们假设了所有的用户使用了相同的速率$R_x$，现在我们考虑不同的用户可能使用不同的速率的情况。在带宽固定的情况下，不同的速率意味着不同的用户有不同的$L$。OVSF是一种在3G网络中被应用的解决方案。

OVSF建立了不同$L$的编码之间的正交性关系。在不同枝干上码之间保持正交，在同一枝干上的码不具备正交性。如$C{4,1}$与$C{4,2}$或者$C{8,7}$等编码属于不同的分叉，它们之间具备正交性；而$C{4,1}$与$C_{8,0}$属于同一分支，它们之间不具备正交性，因此在使用其中一个之后，不能再使用另一个。

再这种情况下，假设第$i$组使用速率为$R_i$的信号，对应$L_i$的编码。需满足：

$\sum_{i=1}^N \frac{K_i}{L_i} \leq 1$

其中$K_i$为第$i$组的可容纳用户数量。

CDMA的干扰和解决方案

干扰问题

另一个影响用户容量的因素时干扰interference 。干扰将破坏编码的正交性。一种干扰的来源时多径信道。接下来，我们来看一些双径信道的例子。

假设用户初始发射的信号为：

$\underbrace{x_1^i c_0^i, x_1^i c_1^i, \ldots, x_1^i c_{L-1}^i}_{x_1^i} ,\underbrace{x_2^i c_0^i, x_2^i c_1^i, \ldots, x_2^i c_{L-1}^i}_{x_2^i}, \ldots$

在接受时，除了直接路径信号$\underbrace{x1^i c_0^i, x_1^i c_1^i, \ldots, x_1^i c{L-1}^i}{x_1^i} ,\underbrace{x_2^i c_0^i, x_2^i c_1^i, \ldots, x_2^i c{L-1}^i}{x_2^i}, \ldots$之外，还接受到一个延迟了一个$T_c$的信号$\underbrace{0,x_1^i c_0^i, x_1^i c_1^i, \ldots, x_1^i c{L-1}^i}{x_1^i} ,\underbrace{x_2^i c_0^i, x_2^i c_1^i, \ldots, x_2^i c{L-1}^i}_{x_2^i}, \ldots$

两个信号叠加后，我们以$x_2^i$为例，将转变为：

$\left[\begin{array}{llll}x_2^i c_0^i+x_1^i c_{L-1}^i & x_2^i c_1^i+x_2^i c_0^i & \cdots & x_2^i c_{L-1}^i+x_2^i c_{L-2}^i\end{array}\right]$

尝试解码：

$\frac{1}{L}\left[x_2^i c_0^i+x_1^i c_{L-1}^i \quad x_2^i c_1^i+x_2^i c_0^i \quad \cdots \quad x_2^i c_{L-1}^i+x_2^i c_{L-2}^i\right]\left[\begin{array}{c} c_0^i \\ c_1^i \\ \vdots \\ c_{L-1}^i \end{array}\right] =\frac{1}{L} x_2^i\left(\sum_{l=0}^{L-1}\left(c_l^i\right)^2\right)+\frac{1}{L} x_2^i\left(\sum_{l=1}^{L-1} c_l^i c_{l-1}^i\right)+\frac{1}{L} x_1^i c_0^i c_{L-1}^i$

第一项是应该得到的目标，解码的性能取决于编码的自相关项$\frac{1}{L}\left(\sum{l=1}^{L-1} c_l^i c{l-1}^i\right)$。

当我们把相同的情况扩展到双用户，假设两个用户发射的信号分别为：

$\underbrace{x1^i c_0^i, x_1^i c_1^i, \ldots, x_1^i c{L-1}^i}{x_1^i}, \underbrace{x_2^i c_0^i, x_2^i c_1^i, \ldots, x_2^i c{L-1}^i}_{x_2^i}, \ldots$
$\underbrace{x1^j c_0^j, x_1^j c_1^j, \ldots, x_1^j c{L-1}^j}{x_1^j}, \underbrace{x_2^j c_0^j, x_2^j c_1^j, \ldots, x_2^j c{L-1}^j}_{x_2^j}, \ldots$

那么以$x_2^i$为例，接收到的信号为：

$\left[\begin{array}{c}x_2^i c_0^i+x_1^i c_{L-1}^i+x_2^j c_0^j+x_1^j c_{L-1}^j \\x_2^i c_1^i+x_2^i c_0^i+x_2^j c_1^j+x_2^j c_0^j \\\vdots \\x_2^i c_{L-1}^i+x_2^i c_{L-2}^i+x_2^j c_{L-1}^j+x_2^j c_{L-2}^j\end{array}\right]^T$

尝试解码，有：

$\frac{1}{L}\left[\begin{array}{c}x_2^i c_0^i+x_1^i c_{L-1}^i+x_2^j c_0^j+x_1^j c_{L-1}^j \\x_2^i c_1^i+x_2^i c_0^i+x_2^j c_1^j+x_2^j c_0^j \\\vdots \\x_2^i c_{L-1}^i+x_2^i c_{L-2}^i+x_2^j c_{L-1}^j+x_2^j c_{L-2}^j\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{c}c_0^i \\c_1^i \\\vdots \\c_{L-1}^i\end{array}\right]=\frac{1}{L} x_2^i\left(\sum_{l=0}^{L-1}\left(c_l^i\right)^2\right)+\frac{1}{L} x_2^i\left(\sum_{l=1}^{L-1} c_l^i c_{l-1}^i\right)+\frac{1}{L} x_1^i c_0^i c_{L-1}^i+\frac{1}{L} x_2^j(\underbrace{\sum_{l=0}^{L-1} c_l^i c_l^j}_{=0})+\frac{1}{L} x_2^j(\underbrace{\sum_{l=1}^{L-1} c_l^i c_{l-1}^j}_{\neq 0})+\frac{1}{L} x_1^j c_0^i c_{L-1}^j$

除了在单用户问题中已经呈现出来的自相关项影响，两个编码的互相关也会对信号产生影响。与自相关项不同，互相关项会带来来自其他信号的干扰。

既然已经了解到干扰主要由互相关项导致，我们将视线转向编码的互相关。比如如下两个编码：

$\begin{aligned}& c^i,: 1\ \ 1-1-1 \\& c^j: 1-1-1\ \ 1\end{aligned}$

它们的互相关为3，两信号之间会产生干扰。为了解决这个问题，有两种方案：随机序列random sequence 或伪随机序列pseudo noise sequence 。前者主张随机生成每个用户的编码，使他们符合独立同分布，且均值为0方差为1。当序列足够长时，互相关项趋近于0。后者则是用一些更为可靠的方式，来使用周期性伪随机序列，实现类似于随机序列的效果。

常用的 PN 序列类型：

最大长度序列（m-sequences）：具有最长周期的线性反馈移位寄存器生成的序列。
Gold 序列：通过两个 m-sequences 组合生成，具有良好的相关性特性。
Kasami 序列：另一种伪随机序列，适用于特定的应用场景。
…

最大长度序列 M sequences

线性反馈移位寄存器 LFSR

LFSR是一种通过线性递推关系生成序列的电路结构。

系统在下一时刻的状态，都取决于除该寄存器之外的寄存器的状态。

$s_{t+L}=\sum_{i=1}^L c_i s_{t+L-i}=c_0 s_n+c_1 s_{n+1}+\cdots+c_{L-1} s_{n+L-1}$

由此可以定义特征多项式characteristic polynomial和反馈多项式feedback polynomial ：

$c_0+c_1 x+\cdots+c_{L-1} x^{L-1}+x^L\\c_0 x^L+c_1 x^{L-1}+\cdots+c_{L-1} x+1$

最大长度序列法即为使用一个LRSR结构生成一个具有最大长度的序列。如对于以下LFSR：

假设初始状态为$(1,0,0)$，即$R0 = 1,R_1 = 0,R_2 = 0$。第一次更新，可得新的状态为$(0,1,0)$，因为$R{0,i = 1} = R1+R_2, R{1,i = 1} = R0,R{2,i = 1} = R_1$。依次重复更新，即可发现最终将形成以为周期为$7 = 2^3-1$的循环。