TS02 Localisation de Source

I 建模

假设声源发射信号为：$S(t)=\alpha e^{i 2 \pi f_0 t}$

不同麦克风接收到的信号即为：$x_{n}=\gamma_n S\left(t-\tau_n\right)+b(t)$

其中，$\taun-\tau{n-1} = \Delta \tau = \alpha/c = \Delta sin(\theta)/c$，其中，$\Delta$为麦克风之间的距离，$\theta$为垂直声波梯度方向与麦克风阵列所在直线的夹角。

假设$\alpha$是一个常数或者一个可确定的参数，接收到的信号为：

$x_n=\gamma_n \alpha e^{i 2 \pi f_0 (t-t_0)} e^{-i 2 \pi f_0 (N-1)\Delta \tau}=\gamma_n \alpha e^{i 2 \pi f_0 t} e^{-i 2 \pi f_0 d_n/c}$

其中，$d_n$是麦克风到扬声器的的距离$d_n = |P_s-P_n|$。

频域模型

在频域下，有$\tilde{x}_n(f)=A g_n+\tilde{b}(f)$。测量值：

$\mathbf{m}=\left[\begin{array}{c}\tilde{x}_1\left(f_0\right) \\\tilde{x}_2\left(f_0\right) \\\vdots \\\tilde{x}_n\left(f_0\right)\end{array}\right]=A g\left(f_0\right)+\tilde{b}$

II 最大似然估计

根据以上的推测，在实际计算中我们需要从观测数据中推测$\theta$或$P_s$等某些参数。假设观测信号的分布为高斯分布，其概率密度函数为：

$f_m(\theta)=\frac{1}{\pi^N \sigma^{2N}} e^{-\frac{\left\|m-A g\left(P_s,\theta \right)\right\|^2}{\sigma^2}}$

其似然函数：

$L(\theta)=\log f_m(\theta)=-\frac{\left\|m-A g\left(P_s，\theta\right)\right\|^2}{\sigma^2}+\text { const. }$

因此最大化似然即为最小化$\left|m-A g\left(P_s, \theta\right)\right|^2$。

如果忽略

III 远场模型和频率选择

在远场假设和均匀线性假设得前提下，有：

$g_n(\theta) = e^{-i2\pi f_0\tau_n} = e^{-i 2 \pi \Delta sin(\theta)(n-1)/\lambda}$

此时，在测量时角度为$\theta_0$$m$为：

$m_{\theta_0}= A\left[\begin{array}{l}1 \\e^{-i 2 \pi \frac{\Delta \sin \theta_0}{\lambda}} \\e^{-i 2 \pi \frac{\Delta \sin \theta_0}{A}(N -1)}\end{array}\right]+b$

我们应用最大似然估计，即选择能使$B(\theta) = ||^2$最大的$\theta$作为我们的估计值，即：

$\theta_e = argmax( |<m,\frac{g(\theta)}{\|g(x)\|^2}>|^2)$

在这一过程中，参数$f_0，\Delta$和$N$都会有影响。三者的增大均有利于更准确的结果，但并非能无限制的增大。

频率选择

在传播过程中，有相对相位：

$z=\frac{\Delta \sin \theta}{\lambda}$

为了避免混叠，要求相对相位在$\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$范围之内。因此有：

$\frac{\Delta sin(\theta)}{\lambda}<1/2\Rightarrow\Delta<\frac{\lambda}{2} = \frac{c}{2f_0}$

III 近场模型和测量

与远场模型不同，近场模型的传播被表示为：

$g(f(s))=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{d_1} e^{-i 2 \pi f_0 \frac{d_1}{c}} \\\ldots \\\frac{1}{d_n} e^{-i 2 \pi f_0 \frac{d_n}{c}}\end{array}\right]$

除此之外在处理上与远场模型并没有太大的区别。

这里我们着稍微讨论一下在测量方法。