基于线性预测的编码

编码是存储或者传输语音信号，同时保证其可理解性的一种方式。在电话通信，语音合成中都有应用。
基于线性预测的语音编码是以语音物理生成模型为基础的。这些是从模型中估计出的参数，它们被传输、存储，然后用于重建。这种重建并不是为了重新合成与输入信号非常接近的信号，而是为了生成一个具有与原始信号相似统计属性（尤其是功率谱密度）的信号。这种方法足以让编码在感知上保持真实。

PLAN

  1. 语音研究（信号，音系学 phonologique，语义学 sémantique）
  2. 构建参数化模型
  3. 参数估计
  4. 实现细节
  5. 限制与扩展
  6. 应用

语音生成模型

语音的生成可以建模为：

  • 一个源，产生一个通常是周期性或随机的信号；有声的声音对应于周期性情况，无声的声音则对应于随机情况。
  • 一个滤波器，作用于该信号。

常见的声源是气流通过声带的运动（频率周期性的开合产生的声音，或者如果声带接近但未闭合则会产生随机湍流），以及由于气流通过声道狭窄区域（例如舌头和上颚、牙齿之间、舌头等）而产生的湍流。

滤波器是通过声道（嘴、鼻等）的传播，这种传播形式是可变的。

模型及参数估计

我们优先关注无声的情况，可以很好地用随机过程建模。目标是估计和表示过程的功率谱密度。

通常基于自回归（Auto-Regressive, AR）模型，其中过程$X$ 由其阶数$p$、系数$a_p$ 和以下公式定义：

其中$W[n]$是方差为$\sigma^2$的白噪音，且独立于$X[k]$。

考虑如何从$W[n]$得到$X[n]$，变换公式得到：

等价于：

由此，可得传递函数：

为了得到这个结果，可以通过如下python代码实现。其中si.lfilter的前两个参数代表传递函数的分子和分母，后一个参数代表原始信号。

1
2
A = np.concatenate(([1], -a)) 
synth = si.lfilter([1], A, exc)

使用此模型的理由是其能够创建共振峰（formants），这些共振峰对应于声道的谐振频率强度带。

上图显示了由以下 AR 过程定义的功率谱密度（DSP）：

该模型的传递函数的极点为 $0.9 e^{i 2 \pi \times( \pm 0.1)}$ 和 $0.99 e^{i 2 \pi \times( \pm 0.23)}$ ，分别表示为峰值的中心频率（相位）及其宽度（模值）。

参数估计

我们选择矩估计法（méthode des moments）来进行参数估计：寻找参数与随机模型矩（此处为自相关）的关系，然后通过求解该关系，并使用这些矩的估计值进行参数反演。

计算$E(X[n]X[n-k])$，对于$k\ge1$：

同时对于$k = 0$：

因此，对于$1\le k \le P$，$a_p$的解可以通过Yule-Walker方程组获得：

通过构建该系统并使用自相关估计值 $\hat{\gamma}{X X}$ 求解，参数 $\hat{a}_p$ *被估计出来。
模型阶数可以通过检验信号估计 $\hat{W}[n]=X[n]-\sum{p=1}^P \hat{a}_p X[n-p]$* 来估计，其应当（近似）为白噪声，前提是阶数足够大。

$\gamma{XX}=\frac{1}{N} \sum{n=0}^{N-1} X[n] \cdot X[n-k], \quad k=-(N-1), \ldots, N-1$是信号$X$的自相关。全部的计算在python中可以如下实现。

1
2
3
4
5
r = np.correlate(X, X, mode='full') / len(X)
r = r[len(X)-1:len(X)+P]
R = la.toeplitz(r[:-1])
r_right = r[1:]
a_est = la.solve(R, r_right)