TFCT, MDCT, 感知音频编码

在前一章，我们定义了块傅里叶基，这使得能够设计图像压缩算法。所使用的方法基于块基（block-based basis），但这种方法并不适用于音频。事实上，量化会在块的边界上出现不愉快的不连续性。在本章中，将看到两种能够避免此问题的表示方法。

时频表示与巴利安-洛（Balian-Low）定理

时间-频率族

一个时间频率族通常由一个窗口函数$g(t) \in L_2$定义，其向量由以下形式给出：

$g_{m n}(t)=e^{i 2 \pi m b t} g(t-a n)$

其中，$g(t)$表示平移之后的窗口函数，表示在时间上的平移。$e^{i 2 \pi m b t}$是一个复指数函数，表示频率平移，即调制。

当$a = 1,b = 1,g = 1{[0,1]}$时，函数转变为$g{m n}(t)=e^{i 2 \pi m t} 1_{[t- n,t-n+1]}$，也就是在前一章我们定义过的块傅里叶基。

这样的基由于$g$ 的不连续性，并不具有信号分解的有趣特性。这些不连续性与$g$ 的傅里叶变换（TF）衰减缓慢相关，我们在上一章提到过这个问题。

在这一张中，我们关注的是满足于如下条件的族，称此条件为时间和频率局部化特定。

$\begin{aligned}& \int_{\mathbb{R}} t^2|g(t)|^2 d t<\infty \\& \int_{\mathbb{R}} f^2|\hat{g}(f)|^2 d f<\infty\end{aligned}$

但是，Balian-Low定理表明，不存在具有时间和频率局部化特性的正交基形如
$g_{m n}(t)=e^{i 2 \pi m b t} g(t-a n)$
的族。

换句话说，当我们要求局部化时，我们定义的分解族有两种可能：不是正交基或不是型如

$g_{m n}(t)=e^{i 2 \pi m b t} g(t-a n)$
的族。

这里我们不去具体证明这个定理，简单来说，这是可以被认为是由傅里叶分析的不确定原理导致的，时间和频率局部化无法同时非常集中。这在之前的时频图中也常常能够见到。

短时傅里叶变换

如上所属，我们必须选择一个条件放弃，在短时傅里叶变换中，我们保留形式

$g_{m n}(t)=e^{i 2 \pi m b t} g(t-a n)$
，但放宽正交性条件。

回顾Hilbert空间的正交基性质：

$x_n=\left\langle x, g_n\right\rangle$,
$x=\sum_{n \in \mathbb{Z}} x_n g_n$
分解是唯一的
$\left|\left(xn\right)n\right|{\ell^2}^2=|x|_H^2$，即信号的总能量等于其系数序列的能量

我们将在优化最后一条后给予保留。

框架Frames的定义

框架 Frames

一个Hilbert空间的框架是满足以下条件的一个族$g_n$：

$A\|x\|_H^2 \leq \sum_n\left|\left\langle x, g_n\right\rangle\right|^2 \leq B\|x\|_H^2$

其中$A$和$B$被称为框架的界限。当框架是正交基时，$A=B=1$。

我们定义如下算子：

分析算子$T$，计算信号于框架元素的内积

$T: H \rightarrow \ell^2, \quad T(x)=\left(\left\langle x, g_n\right\rangle\right)_n$

合成算子$T^*$，根据系数重构信号

$T^*: \ell^2 \rightarrow H, \quad T^*\left(\left(c_n\right)_n\right)=\sum_n c_n g_n$

框架算子$S = T^*T$

$S x=\sum_{n \in \mathbb{Z}}\left\langle x, g_n\right\rangle g_n .$

在有限维下，$A$和$B$分别为最小和最大的特征值。

双框架 Dual Frames

一个双框架是可以完成信号重构的与框架$g_n$组合的框架$h_n$：

$x=\sum_{n \in \mathbb{Z}}\left\langle x, g_n\right\rangle h_n$

定义规范双框架：

$\tilde{g}_n=S^{-1} g_n$

规范双框架是与原框架相关最为自然的双框架。

定义紧框架：

$A = B, \ \sum_n\left|\left\langle x, g_n\right\rangle\right|^2=A\|x\|_H^2$

此时有：

$S=A I_d, \quad \tilde{g}_n=\frac{1}{A} g_n, \quad x=\frac{1}{A} \sum_n\left\langle x, g_n\right\rangle g_n$

时间频率框架

给定一个窗口函数$g(t)$，一个时间步长$a$，一个空间步长$b$，按照前述格式定义框架：

$g_{n m}(t)=g(t-a n) e^{i 2 \pi m b t}$

假设$g(t)$的支集support包含在$[-1 / b, 1 / b]$。

$\operatorname{supp}(f)={\overline{x \in X \mid f(x) \neq 0}}$

计算框架因子：

$S f(t)=\sum_{n \in \mathbb{Z}}\left\langle f(t), g_n\right\rangle g_n =\frac{1}{b} \sum_{n \in \mathbb{Z}}|g(t-n a)|^2f(t)$

框架的上下界可以通过：

$A=\inf _{t \in \mathbb{R}} s(t), \quad B=\sup _{t \in \mathbb{R}} s(t)$

得到。同时定义规范双框架：

$\tilde{g}(t)=g(t) / s(t)$

这种分解被称为短时傅里叶变换（TFCT, STFT）。

修正离散余弦变换 MDCT Modified Discrete Cosine Transform

另一种可行的方式是放弃形式$g_{n m}(t)=g(t-a n) e^{i 2 \pi m b t}$，例如MDCT。

假设给定一组实数序列$\left{ak\right}{k \in \mathbb{Z}}$，使得：

$a_k<a_{k+1}, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} a_k=\infty$

定义序列$\left{\etak\right}{k \in \mathbb{Z}}$满足以下条件：

$a_k+\eta_k<a_{k+1}-\eta_{k+1}$

同时定义窗口函数$w_k$，满足：

$0 \leq wk(t) \leq 1$，且$w_k(t)=1$在区间$\left[a_k+\eta_k, a{k+1}-\eta_{k+1}\right]$上
$wk(t)=0$当$t \leq a_k-\eta_k \text { or } t \geq a{k+1}+\eta_{k+1}$
$w{k-1}\left(a_k+t\right)=w_k\left(a_k-t\right)$，且$w_k\left(a_k+t\right)^2+w{k-1}\left(a_k+t\right)^2=1, \quad \forall t \in\left[-\eta_k, \eta_k\right]$

由此定义局部余弦原子的族$\left{u{k n}\right}{k \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}}$：

$u_{k n}(t)=\sqrt{\frac{2}{\ell_k}} w_k(t) \cos \left(\frac{\pi}{\ell_k}(n+1 / 2)\left(t-a_k\right)\right)$

其中：

$\ell_k=a_{k+1}-a_k$

这是一组$L^2$空间的正交基。这种变换基于 Neumann-Dirichlet 边界条件的局部余弦基。通过这种局部余弦基，信号被分解为偶数和奇数部分，每部分由左端和右端的余弦段来表示。