Exemple 1 车辆的横向控制建模与侧方位通车

假设

横向控制与纵向控制解耦

  • 通过方向控制进行轨迹跟踪。
  • 车辆的速度通过横向控制在可接受的约束（最大速度）内“承受”。

使用自行车运动学模型：

  • 低速情况下，偏航动力学和侧滑忽略不计。
  • Ackermann假设。
  • 参考点是后轴的中心。
  • 后轴的两轮和前轴的两轮被替换为每个车轴中心的一个虚拟轮。

  • $x$ : 后轴中心点 R 的横坐标
  • $y$ : 后轴中心点 R 的纵坐标
  • $\Psi$：车辆相对于 x 轴的方向
  • $b$：轴距
  • $a$ ：一轴的两轮之间的距离（车道宽度，未表示）
  • $v$ ：车辆速度
  • $\delta$：车轮的转向角
  • $\kappa$ : 车辆轨迹的曲率
  • $P$ : 瞬时转动中心
  • 输入:
    • $v$ 和 $\delta$
  • 输出:
  • $x, y, \Psi$ 和 $\kappa$

建模

动力学模型

  • $(x) :v_x=v * \cos (\Psi)$
  • $(y) : v_y=v * \sin (\Psi)$
  • 角速度 $\dot{\Psi}=\frac{v}{R}$
  • 曲率半径：$R=\frac{1}{\kappa}=\frac{b}{\tan (\delta)}$
  • 曲率的微分：$\dot{\kappa}=\frac{d}{d t}\left[\frac{\tan (\delta)}{b}\right]=\frac{\dot{\delta}}{b * \cos ^2(\delta)}=\sigma$

设状态向量vecteur d’état$X=[x, y, \Psi, \kappa]$，建立动力学模型：

即：

线性化

线性化假设

由于模型非线性，需要在平衡点$X_0=\left[x_0, y_0, \Psi_0\right] / \dot{x}_0=0, \dot{y}_0=0, \dot{\Psi}_0=0, \kappa_0=0$附近进行线性化。

为此，增加假设：

  • 车辆速度为常数，等于 $v_{\max }$ （带符号，取决于车辆行驶方向）。
  • 平行泊车：车辆方向 $\Psi$ 的变化较小，因此可以将其平均值固定在平衡状态 $\bar{\Psi}=20^{\circ}$ 。
  • 在实际停车过程中，给定参考轨迹仅为 $\left[x{r e f}, y{r e f}, \Psi_{r e f}\right]$ ，简化为状态 $[x, y, \Psi]$ 。

记$\widetilde{U}=\tan (\delta)$，则有：

线性化

计算雅可比矩阵：

得线性化之后的系统：

可控性 commandabilité

计算可控性矩阵：

其行列式为0，因此不可控。

控制率 loi de commande

我们希望应用$LQ$控制：

但是因为$(A,B)$不可控，所以$LQ$不可应用于我们当前的系统。

简化系统

为了应用$LQ$，需要将系统简化为唯一可控变量。存在可逆矩阵$T$，使得$\Delta X=T * \Delta \tilde{X}$，此时演化方程转化为：

为了方便计算，设$a 13=-v \cdot \sin (\bar{\Psi}), a 23=v \cdot \cos (\bar{\Psi}) \text { et } b 3=\frac{v}{b}$。

选择：

得到系统转化为：

从而将系统简化为：

应用$LQ$控制

取$Q = I_2,R = I_1$，Riccati方程：

唯一的正定解为：

而$L = R^{-1} B^T P = [\sqrt 3, 1]$。

因此有：

闭环控制系统